203. ගණිත විනෝදය.....09

ඕන්න කාලෙකට පස්සේ ගණිත ගැටළු ටිකකුත් අරගෙන ගණං ටීච ආවලු. බලමු අද කවුද මේ ටික මුළින්ම විසඳන හපනා කියලා. :)

***

1. 

බූවලු ලෝකේ රජ්ජුරුවන්ට හිටියා කකුල් හයේ, හතේ, අටේ සේවකයෝ. මේ සේවකයන්ගෙන් කකුල් හතේ අය කිව්වොත් කියන්නේ බොරුමයි. කකුල් හයේ අයයි අටේ අයයි කියන්නේ ඇත්ත විතරමයි.

දවසක් මේ සේවකයෝ හතර දෙනෙක් හම්බවුණා.

• නිල් පාට බූවල්ලා කිව්වා 'අපි හතරදෙනාගෙම කකුල් ගණන එකතු වුණාම කකුල් 28ක් තියෙනවා' කියලා.
• කොළ පාට බූවල්ලා කිව්වා 'අපි හතරදෙනාගෙම කකුල් ගණන එකතු වුණාම කකුල් 27ක් තියෙනවා' කියලා.
• කහ පාට බූවල්ලා කිව්වා 'අපි හතරදෙනාගෙම කකුල් ගණන එකතු වුණාම කකුල් 26ක් තියෙනවා' කියලා.
• රතු පාට බූවල්ලා කිව්වා 'අපි හතරදෙනාගෙම කකුල් ගණන එකතු වුණාම කකුල් 25ක් තියෙනවා' කියලා.

මේ හතර දෙනාගෙන් ඇත්ත කියන්නේ මොන පාට බූවල්ලාද කියන්න බලන්න.

***

2.

අමරයි මාලායි අයියයි නංගියි. මාලාට ඉන්න සහෝදරයන් ගාණටම සහෝදරියනුත් ඉන්නවා. අමරට ඉන්න සහෝදරයන් ගණන වගේ දෙගුණයක් සහෝදරියන් ඉන්නවා. ඒ පවුලේ මුළු සහෝදරයන් ගණන කීයද? සහෝදරියන් ගණන කීයද?

***

3.

ඒකෝමත් එක ගමක තිබුණ ලොකු චතුරශ්‍රාකාර පොකුණක් මැද්දේ චතුරශ්‍රාකාර දූපතක් තිබුණා. මේ දූපතට පොකුණේ ඉවුරේ ඉඳලා හතර පැත්තෙන්ම තිබුණේ අඩි 20ක දුරක්. දවසක් එක මනුස්සයෙකුට මේ දූපතට යන්න ඕන වුණා. ඒත් එයා ළඟ තිබුණේ අඩි 19ක් දිග, අඩියක් විතර පළල ශක්තිමත් ලෑලි දෙකක් විතරයි. එයා කොහොමද තෙමෙන්නේ නැතුව ඒ දූපතට යන්නේ?

***

4.

දවසක් ළමයි පස් දෙනෙක් පිට්ටනියක ක්‍රිකට් ගහ ගහ හිටියා. එක්කෙනෙකුගේ අතින් බෝලෙ වැදිලා ළඟ තිබුණ ගේක ජනේලයක් බිඳුනා. ඒ ගැන අහපු වෙලාවේ ළමයි පස් දෙනා එක්කෙනෙක් වාක්‍ය තුන ගානේ කිව්වා. ඒ වාක්‍ය තුනෙන් 2ක් ඇත්ත, එකක් බොරු. මේ තියෙන්නේ ඒ එක එක්කෙනා කියපු වාක්‍ය.

ජන්තු:
1. මං නෙවෙයි ඒක කළේ.
2. සිඟිති කියයි ඒක කළේ කවුද කියලා.
3. අපෙන් එක්කෙනෙක් ලොකු අමාරුවක වැටෙන්නයි යන්නේ.

මහතුන්:
1. ටිකිරි තමයි ඒක කළේ.
2. මං නෙවෙයි ඒක කළේ.
3. මං ක්‍රිකට් ගහන්න ආසත් නෑ.

බිංදු:
1. මං නෙවෙයි ඒක කළේ.
2. ටිකිරියි මමයි හොඳ යාළුවෝ.
3. සිඟිති දන්නෙ නෑ ඒක කළේ කවුද කියලා.

ටිකිරි:
1. මං ඒක කළා කියලා මහතුන් කිව්වෙ බොරු.
2. මං මීට කළින් කවදාවත් බිංදුව දැකලා නෑ.
3. මං ජීවිතේට කවදාවත් ජනේලයක් කඩලා නෑ.

සිඟිති:
1. මං දැක්කා ටිකිරි ජනේලෙ කඩනවා.
2. මංනං ජනේලෙ කැඩුවේ නෑ.
3. මට ගෙදර යන්න ඕනෙ.

කවුද ඇත්තටම ජනේලෙ කඩලා තියෙන්නේ?

***

කමෙන්ට් පස්සෙ පබ්ලිෂ් කරන්නං. බය නැතුව උත්තර ලියලා යන්ඩ. :)

197. අරුම පුදුම මැජික් කැටය...

වර්ණ මුහුණත් මිශ්‍ර වූ රූබික් ඝනකයක්

Rubik's Cube. මේ අරුම පුදුම මැජික් කැටේ ගැන අහලා දැකලා නැති කිසිම කෙනෙක් නැතුව ඇති මං හිතන්නේ. මේක ත්‍රිමාණ ප්‍රෙහෙළිකාවක්. පැති හයේ පාට හයක් තියෙන, මුහුණත් හය හැම පැත්තටම කරකවන්න පුළුවන් ඝනකයක්. සීත්තමීලාගේ ගෙදරත් ඔයින් එකක් තිබ්බා ඉස්සර ඉඳන්. අයිතිකාරයා ඉතින් අයියා තමා. ඕක අරගෙන එහෙටයි මෙහෙටයි කරකවකව ඉන්නවා මිසක් අයියාවත් ඕකේ පැති දෙකකට වඩා එක සැරේ හදලා තියෙන බවක් සිත්තමීට මතක නෑ. ඉතින් කට්ටිය ටික ටික ලොකු වෙද්දී ඕකත් මේ සම්මජ්ජාතියෙදි හදාගන්න බැරි කැඩිච්ච බඩුගොඩත් එක්ක කොහෙටහරි වෙලා අන්තරස්දාන වෙලා අමතක වෙලා ගියා.

ඔන්න අවුරුදු ගාණකට පස්සේ සිත්තමීගේ සිත්තර පැංචාට සෙල්ලම්බඩු සාප්පු සවාරි යන කාලේ උදාවුණා. සෙල්ලම්කාර්, පාට පාට බෝල අනංමනං බඩු ගොඩක් මැද්දේ රාක්කෙක අඩුක්කරලා තිබ්බ සුට්ටං පෙට්ටියක් සිත්තර පැංචාට ඕන වුණා. ඒ අර මැජික් කැටයක්. ගෙදර කළින් තිබ්බ එකට වඩා පොඩි, සිත්තර පැංචාගේ සුට්ටි අත් දෙකට සෝයි එකට අල්ලගන්න පුළුවන් සුට්ටි කැටයක්. ඉතින් ඕක අරන් දුන්නා. ගෙනල්ලා දවස් දෙකයි, ඕක පොළොවේ ගහලා කෑලි ටික හතර අතට විසිවෙලා ගියා. මෙන්න වදේ මේක ඇතුළේ ඉස්කුරුප්පු ඇණ! ඒ වෙලාවෙදි තමයි සිත්තමීට ඔය මැජික් කැටේ ගලවලා බලන්ඩ ඕනැය කියන අදහස මුළින්ම පහළවුණේ. ඒත් ඉතිං මේ කෑලි ගැලවෙන එක පොඩ්ඩාට ආයෙ අහුවෙන්න තියන්න හොඳ නැති හින්දා අහුවෙච්ච විදිහට කෑලි ටික ආයෙ හයි කරලා උඩකින් අරංතියලා තිබ්බා. ඉතිං ඒකත් එහෙමම අමතක වෙලා ගියා.

ඊටපස්සෙ මේ ළඟදි, සිත්තමී දැක්කා නියම වීඩියෝ එකක්. සිත්තමී දන්න මල්ලියෙක් - පිස්සු හටනක්, හැබැයි නියම මොළකාරයෙක් - මේ මැජික් කැටේ ප්‍රෙහෙළිකාව විසඳනවා විනාඩියයි තත්පර විසිගාණකින්. මේක හැබෑවටම විසඳන්න පුළුවන් එකක්ය, පොඩි එවුන්ව මැජික් පෙන්නලා රවට්ටන්න හදපු ප්‍රෝඩාවක් නෙවෙයිය කියලා සිත්තමීට මුළින්ම තේරුණේ අන්න ඒ වීඩියෝ එක දැක්කාට පස්සේ. ඉතින් සිත්තමීත් බැස්සා වැඩට. රෑ තිස්සේ ඉන්ටනැට් එක පීර පීර හෙව්වා මේක හදන විදිහ. මෙන්න හම්බවුණා පියවරෙන් පියවර, මෙහෙම තිබ්බොත් මෙහෙමයි, මෙහෙම තිබ්බොත් මෙහෙමයි, මුළින්ම හදන්න ඕනෙ මෙහෙමයි, පාඩම් මාලාවක්ම තියෙනවා. සිත්තමී ගත්තා ඉතිං අර හංගලා තිබ්බ මැජික් කැටේ. ඒ කියලා දීලා තිබ්බ විදිහට හදන්න ගත්තා. ඔන්න හැදීගෙන හැදීගෙන එනවා, සිත්තමීට හරිම ජොලි. අන්තිමට මෙන්න කෑලි දෙකක් විතරක් ඉතුරුවෙනවා, මක් කරලාවත් ගොඩදාගන්න බෑ. ඒක හදාගන්න ගියාම අර අනිත් ඔක්කොම ආයෙ අවුල් වෙනවා. එදා වැඩේ අත ඇරලා දැම්මා. හැබැයි කොහොමහරි මේක හදාගන්න ඕනෙ කියලා හිතේ තිබුන හින්දා දවස් කීපෙකට පස්සෙ ආයෙමත් රෑ මැජික් කැටේ අතට අරන් කොම්පීටරේ ඉස්සරහා වාඩි වුණා. ඒත් හරි ගියෙ නෑ. ඒ ගමන මට වෙලා තියෙන අකරතැබ්බෙ ගැන ගූග්ල් දෙයියන්ගෙන් ඇහැව්වා. ඔන්න ඒ වගේ එව්වා අහලා තියෙන තව පුරස්න දෙක තුනක් ගූගල් දෙයියො මට හොයලා දුන්නා. ගොහිං එව්වා කියවලා බැලුවාම මෙන්න කියපි ඕක විසඳන්න බෑය, ඔය කැටේ වැරදිය, ගලවලා ආපහු හරියට හයි කරගන්ඩය කියලා. දැං මොකෝ කරන්නෙ ඉතිං? එකත් එකටම මං අර පැංචා කැටේ පොළොවෙ ගහලා කැඩිච්ච වෙලාවේ ආයෙ කෑලි හයි කරන්ඩ ඇත්තේ වැරදියට වෙන්ඩැති. ඉතිං හොයලා බැලුවා කොහොමද හරියටම තියෙන්න ඕනෙ කියලා. මෙන්න එහෙම එකකුත් තියෙනවා.

මැජික් කැටේ පාට හය - රතු, තැඹිලි, කහ, කොළ, නිල්, සුදු
ඔය පාට එකිනෙකට විරුද්ධ මුහුණත්වල තියෙන්න ඕනෙ මේ විදිහට:
කහ - සුදු
රතු - තැඹිලි
නිල් - කොළ

කොටස් ගලවා වෙන් කළ රූබික් ඝනකයක්

හරි, මගේ කැටේ වැරදියි. දැං ඉතිං ඕක ආයෙ පොළොවෙ ගහලා කඩන්නයැ? බඩු කඩන්නත් මොකක් හරි පිළිවෙලක් තියෙන්ඩ එපායැ! අනික මෙච්චර මේ මැජික් භාණ්ඩයක් වෙච්ච එකේ. ඉතිං ඒ ගැනත් අහලා බැලුවා. ඔය හම්බවුණේ. ආයෙ අඬු, නියන්, ඉස්කෝප්ප මුකුත් ඕනෙ නෑ, අතින්ම ගලවත හැකි. මෙන්න මේ විදිහට. ඉතින් ඒ විදිහට ගලවලා සිත්තමී කැටේ හදාගත්තා ආයෙ අලුතෙන් කඩෙන් ගෙනා එකක් ගාණට.

ඊට පස්සෙ කැටේ එහෙට මෙහෙට කරකවලා, ආයෙ ඔක්කොම අච්චාරු කරලා සම්බෝල හැදුවා.

ඊට පස්සෙ පාඩම් පොතේ කියලා තිබ්බ පිළිවෙලට කළා. ගොඩ! සිත්තමී මැජික් කැටේ හැදුවා! :D

විසඳා නිම කළ රූබික් ඝනකයක්

වැදගත් රීති ටිකක් (algorithms) තියෙනවා මතක තියාගන්න ඕනෙ. ඒ ටික මෙන්න මේ වීඩියෝ එකේ බොහොම පැහැදිලිව කියලා දෙනවා. මට හම්බුණ පැහැදිලිම ටියුටෝරියල් එක තමයි ඒක. අපි දන්න සාමාන්‍ය 3 x 3 ඝනකයට අමතරව දැන් වෙළඳපොළේ මහා පරිමාණයේ රූබික් ඝනකත් තියෙනවා. 17 x 17 රූබික් ඝනකයක් විසඳන වීඩියෝවක් බලං ඉඳලා සිත්තමීට ළඟදි දවසක නිදාගන්නත් අමතක වුණා. තව, මේ දැනගැනීම පිණිස කියන්නේ, දැන් තියෙනවා අන්තර්ජාලයේ ඕනෙම රූබික්ස් ඝනක පිහිටීමක් දුන්නාම ඒක විසඳන හැටි එකින් එකටම පියවර ටික අපිට පෙන්නන. වෙනත් විදිහකට කිව්වොත් Online Rubik's Puzzle Solvers. හැබැයි මගේ උපදෙස ඒවා පාවිච්චි කරන්න එපා, මම පාවිච්චි කළෙත් නෑ. අර උඩ ටියුටෝරියල් එකේ තියෙන රීති ටික හොඳට පුහුණු වුණාම මේක කිසි අමාරුවක් නැතුව විසඳන්න පුළුවන්.

විවිධ හැඩැති, විවිධ ප්‍රමාණයේ රූබික් ප්‍රෙහෙළිකා

දැන් මෙච්චර මේ අරුම පුදුම ඇඩ්වෙන්චර් එකක් අත්විඳින්න සිත්තමීට අවස්ථාව සලසලා දුන්න මේ මැජික් කැටේ ඉතිහාසය ගැන හොයලා බැලුවේ නැත්තම් අසාධාරණයිනේ. ඉතින් ඒ හින්දා මේ විස්තර ටිකත් හොයාගත්තා. (තොරතුරු මූලාශ්‍රය The history of the Rubik's Cube)

වර්ෂ 1974දී, හන්ගේරියාවේ බුඩාපේස්ට් නගරයේ විසූ අර්නෝ රූබික් (Erno Rubik) නැමැති වාස්තු විද්‍යා මහාචාර්‍යවරයා අමුතුම ආකාරයේ වස්තුවක් නිර්මාණය කළේය. එය බැලූ බැල්මට මෙලොව පැවතිය හැකි අන්දමේ වස්තුවක් නොවීය. ඝනකයක ස්වරූපය ගත් එහි මුහුණත් සෑම අතකටම කරකැවිය හැකි වුවද එහි කැබලි වෙන්වී යාමකින් හෝ බිඳී යාමකින් හෝ හැඩය වෙනස් වීමකින් හෝ තොරව ඝනකයක් ලෙසින්ම පැවතුණි. එකම වෙනස වූයේ එහි මුහුණත් මත වූ කුඩා චතුරශ්‍ර තිබූ ස්ථාන මාරු වීම පමණි. එය 'රූබික් ඝනකයේ' පිළිසිඳගැනීම විය. ඔහුම සෑදූ එම ඝනක ප්‍රෙහෙළිකාව විසඳීමට අර්නෝ හට මාසයක කාලයක් ගත විය. 

අර්නෝ රූබික් මහාචාර්‍යවරයා රූබික් ඝනයක් විසඳමින්

පළමු ඝනක පෙළ හන්ගේරියාව තුළ නිශ්පාදනය කර බෙදාහැරියේ පොලිටෙක්නිකා සමාගමයි. ආරම්භයේදී එම ඝනක හැඳිවූයේ 'Magic Cubes (මායා ඝනක)' නමිනි. එම ඝනක පසු කළෙකදී නිකුත් වූ ඝනක මෙන් දෙගුණයක පමණ බරින් යුතු විය. එකල හංගේරියාව තුළ ආනයන අපනයන ක්‍රියාවලිය සිදු වූයේ ඉතා දරදඬු පිළිවෙතක් යටතේය. 70 දශකය තුළ හංගේරියාවේ ජනප්‍රියත්වයට පත් වූ අර්නෝගේ මායා ඝනකය 80 දශකයේදී ලොව පුරා සෑම දරුවෙකුගේම අත රැඳෙනා ක්‍රීඩා භාණ්ඩයක් බවට පත්වන්නේ ජාත්‍යන්තර සමුළුවලදී මෙම ඝනකය පිළිබඳව කරුණු ඉදිරිපත් කළ ගණිතඥයන් සහ 1979දී නියුරම්බර්ග් ක්‍රීඩාභාණ්ඩ සැණකෙළිය වෙත මෙය රැගෙන ගිය අතිදක්ෂ ව්‍යාපාරිකයෙකු නිසාය. ක්‍රීඩා භාණ්ඩ විශේෂඥයෙකු වූ ටොම් ක්‍රේනර් එය ලෝක වෙළඳපළ වෙත ගෙන යාමට එකඟ වූයේ එහිදීය. ඔහුගේ නොසැලෙන විශ්වාසය මත Ideal ක්‍රීඩා භාණ්ඩ ආයතනය මෙම 'මායා ඝනකය' බෙදාහැරීමේ වගකීම භාරගත්තේය. Ideal ආයතනයේ විධායකවරුන් එහි නාමය මායාකර්ම (witchcraft) වෙත දක්වන සමීපබවට එතරම්ම කැමති නොවූයෙන් අවසානයේදී එය "Rubik's Cube" හෙවත් රූබික්ගේ ඝනකය නමින් ප්‍රසිද්ධියට පත් විය. දළ වශයෙන් දැනට ජීවත්ව සිටින මිනිස් ජනගහනයෙක් හත් දෙනෙකුගෙන් එක් අයෙකු මෙම ප්‍රෙහෙළිකා ඝනකය සමග සෙල්ලම් කොට ඇතැයි පැවසේ. 

“If you are curious, you’ll find the puzzles around you. If you are determined, you will solve them. ” ~ Erno Rubik 

130. ගණිත විනෝදය.....08

අද ඔන්න මම කාටවත් ගණං හදන්න දෙන්නෙ නෑ. කතන්දර ටිකක් තමයි කියන්නේ. මේවා ඇවිල්ලා ගණං කතා.
 

***

දවසක් එක නෝනා කෙනෙක් රත්තරං බඩු සාප්පුවකට ගිහින් පවුමක් වටින මුද්දක් සල්ලි දීලා අරගෙන ආවලු. පහුවදා එයා ආපහු ඒ සාප්පුවටම ගිහිල්ලා, ඒ මුද්ද මාරු කරගන්න ඕනේ කියලා ඒ පවුමෙ මුද්ද තියලා පවුම් දෙකක මුද්දක් අරගෙන මුදලාලිට ලස්සනට හිනා වෙලා ස්තූති කරලා යන්න හැරුණලු. කලබල වෙච්ච මුදලාලි විගහට ඉතිරි පවුම ඉල්ලුවාලු. මේ නෝනා කේන්තියෙන් වගේ පැහැදිලි කරන්න පටන්ගත්තාලු මෙන්න මෙහෙම: 'මං ඊයෙ ඇවිත් පවුමක් ගෙව්වනේ, දැන් අද මේ පවුමක් වටින මුද්දකුත් දුන්නනේ. ඉතිං පවුම් දෙක හරිනෙ. තවත් මොනවද මං ගෙවන්න ඕනේ?' ඔළුව අවුල් වෙච්ච මුදලාලි ඇඟිලි ගැන ගැන ගණං හදන අතරේ අර නෝනා සුළි සුළඟක් වගේ සාප්පුවෙන් එන්න ආවලු.
 

***

ඔන්න එක ඉලන්දාරියෙක් වතාවක් රස්සාවකට ඉල්ලුම් කළාලු. සම්මුඛ පරීක්ෂණේදි එයා කළමණාකාරතුමාට කිව්වලු එයා අවුරුද්දකට පවුම් තුන්සීයක වැටුපක් බලාපොරොත්තු වෙනවා කියලා. එතකොට කළමණාකාරතුමා ඔළුව දෙපැත්තට වනලා මෙන්න මෙහෙම කිව්වලු: 'මේ බලනවා, අවුරුද්දට තියෙන්නේ දවස් 365යි. ඔහේ දවසකට පැය 8ක් නිදියගත්තොත් ඒ කියන්නේ සම්පූර්ණ දවස් 122ක් නිදියනවා. එතකොට ඉතිරි වෙන්නේ දවස් 243යි. දවසට තව පැය අටක් විවේක ගන්නවා, ඒ කියන්නේ තවත් දවස් 122ක්. එතකොට ඉතිරි වෙන්නේ දවස් 121යි. ඔහේ අවුරුද්දට තියෙන සති පණස් දෙකේ ඉරිදා දවස් වැඩ කරන්නෙ නෑනේ. එතකොට ඉතුරු වෙන්නේ දවස් 69යි. සෙනසුරාදා දවස් වලිනුත් දවස් බාගයක් නිවාඩුයි - ඒ කියන්නේ එතන දවස් 26ක් ඉවරයි. එතකොට ඉතුරු වෙන්නේ දවස් 43යි. ඒ දවස් වලිනුත් දවසට පැය ගානේ කෑම වෙලාවට අයින් කළාම එතන දවස් 15ක් ඉවරයි. ඉතුරු වෙන්නේ දවස් 28යි. එතකොට සති දෙකෙන් දෙකට හම්බ වෙන නිවාඩුව ගත්තම ඉතුරු වෙන්නේ දවස් 14යි. එතකොට පාස්කු නිවාඩු, බැංකු නිවාඩු, නත්තල් නිවාඩු අයින් කළාම ඉතුරු වෙන්නේ දවස් කීයද? ඔහේ හිතන්නේ ඔහේ දවස් දහයක් වැඩ කරනවට මං පවුම් 300ක් ගෙවන්න ඕනේ කියලද?'
 

***

දවසක්දා මිනිස්සු හත් දෙනෙක් පොඩි හෝටලේකට ආවලු නවාතැන් ගන්න. ඒ එක එක්කෙනාට වෙන වෙනම කාමර ඕනේ කියලා තමයි කිව්වේ. ඒත් හෝටලේ ඉතිරි වෙලා තිබුණේ කාමර හයයි. ඒත් කළමණාකාරතුමා කිව්වා එයා අමුත්තන්ගේ ඉල්ලීම ඒ විදිහටම ඉටු කරන්නම් කියලා. එයා පළවෙනියව පළවෙනි කාමරේට එක්ක ගිහිල්ලා තව එක්කෙනෙකුට ටික වෙලාවක් ඒ කාමරේ නතර වෙලා ඉන්න කියලා කිව්වා. ඊලඟට තුන්වෙනියව දෙවෙනි කාමරේට එක්ක ගියා, හතර වෙනියව තුන් වෙනි කාමරේට එක්ක ගියා, පස් වෙනියව හතර වෙනි කාමරේට එක්ක ගියා, හය වෙනියව පස් වෙනි කාමරේට එක්ක ගියා. ඊට පස්සේ ආපහු පළවෙනි කාමරේට ගිහිල්ලා ඒකේ ටික වෙලාවකට නතර වෙච්ච හත් වෙනියව හය වෙනි කාමරේට එක්ක ගියා. හැමෝටම කාමර හම්බ වුනා. නැද්ද?
 

***

ඔන්න එකෝමත් එක කාලෙක තිබ්බලු එක ලඟ තිබුණ රාජධානි දෙකක්. නෑ නෑ, ෆැසිනෝඩියාවයි නෝවෙල්ස්ට්‍රයිනුයි නෙවෙයි, වෙන දෙකක්. අපි කියමු මොහෙන්දජාරෝයි, හරප්පායි කියලා. ඔය රටවල් දෙකේ ආණ්ඩු දෙක කතා වුනාලු රටවල් දෙකේම ඩොලර් අගය එක සමානව තියාගන්න. ඒත් දවසක්දා මොහෙන්දජාරෝවේ ආණ්ඩුව ඒ එකඟතාවෙ කඩ කරලා ඒ රටේ නීති කෙටුම්පත් වෙනස් කළාලු ඉන් ඉදිරියට හරප්පා ඩොලරයක් වටින්නේ මොහෙන්දජාරෝ ශත අනූවක් විතරයි කියලා. ඕක ආරංචි වෙච්ච හරප්පාවෙනුත් ඒ රටේ නීති කෙටුම්පත් වෙනස් කළාලු ඉන් ඉදිරියට මොහෙන්දජාරෝ ඩොලරයක් වටින්නේ හරප්පා ශත අනූවක් විතරයි කියලා. ඔය රටවල් දෙක අතර මායිමේ පදිංචි වෙලා හිටියලු මොළේ ඇති හාදයෙක්. මෙයා ඔන්න පහුවදා උදේම මොහෙන්දජාරෝ කඩේකට ගිහිල්ලා ශත දහයක් වටින රේසරයක් අරගෙන මොහෙන්දජාරෝ ඩොලරයක් දුන්නලු. ඉතුරු විදිහට එයාට මොහෙන්දජාරෝ ශත අනූවක් වටින හරප්පා ඩොලරයක් හම්බ වුනාලු. මෙයා ඒකත් අරගෙන හරප්පා කඩේකට ගිහින් තව ශත දහයක් වටින බ්ලේඩ් තල පැකට් එකක් අරගෙන අතේ තිබ්බ හරප්පා ඩොලර් එක දුන්නලු. එයාට ඉතුරු විදිහට හරප්පා ශත අනූවක් වටින මොහෙන්දජාරෝ ඩොලරයක් හම්බවුනාලු. එයා ඉතිං ඒකයි බඩු ටිකයි අරගෙන ගෙදර ගියාලු. අන්තිමට බැලුවම එයා ලඟ මුලින් එයා ලඟ තිබ්බ මොහෙන්දජාරෝ ඩොලරයත් තියනවා, එයා ගත්ත බඩුත් තියනවා. මුදලාලිලා දෙන්නටත් ශත දහය ගානේ හම්බවුනා. එතකොට කවුද දැන් රේසරේටයි බ්ලේඩ් තල පැකට් එකටයි ගෙවලා තියෙන්නේ?
 

***

අදට ඔය ඇති නෙහ්? මෙව්වා කියවලා කරකෝලා අත ඇරියා වගේ දැනුණනං ගණං ගන්න එපා. මේ ලියපු මාත් එහෙම හිටං තමයි ලිව්වේ. :D

මෙව්වා හොයාගත්තේ ඔන්න ඔය පොතෙන්

95. ගණිත විනෝදය...07

මෙන්න උත්තරේ හොයන්නකෝ. කමෙන්ට් මොඩරේෂන් දාලා තියෙන්නේ, බය නැතුව උත්තර ලියන්ඩකෝ. දිනපු කෙනාට තෑග්ගක් තියෙනවා. මෙන්න මේකයි ප්‍රශ්නේ.

IF,
2 = 5
3 = 10
4 = 17

THEN
5 = ??

උදව්: ගණං කිව්වට මේවා ගණංම නෙවෙයි හොඳේ. :D

72. ගණිත විනෝදය...06

මහාචාර්ය ඩේවිඩ් ඇතුළු ගවේශණ කණ්ඩායම ඉන්නෙ බොහොම අවදානම් තත්ත්වෙක. තවත් විනාඩි දා හතකින් නෝවෙල්ස්ට්‍රයින් ගිනිකන්ද පුපුරනවා. මේ කණ්ඩායම ඊට කළින් වැල් පාලමෙන් එගොඩ වෙලා මේ පැත්තට එන්න ඕනේ. ඒත් පාලම බොහොම අබලන් වෙලා, ප්‍රවේශමෙන් අඩිය නොතිබ්බොත් කෙළින්ම ඇදගෙන වැටෙන්නේ දරුණු සැඩ පහරකින් ඇදී යන නෙයුස් ගංගාවට. ගිනිකන්දෙන් පිට වෙච්ච දුමෙන් ආකාසෙ වැහිලා, පළාතම අඳුරුයි. විදුලි පන්දමක් නැතුව පාලමෙන් එගොඩ වෙන්න බෑ. ඒත් කණ්ඩායමටම තියෙන්නේ එක විදුලි පන්දමයි. එක සැරේකට පාලමෙන් එගොඩ වෙන්න පුළුවන් දෙන්නෙකුට විතරයි. 

ගිනි කන්ද ලඟට මේ කණ්ඩායම ලඟා උනෙත් මේ පාලමෙන්ම එගොඩ වෙලා නිසා ඒ එක් එක්කෙනාට පාලමෙන් එගොඩ වෙන්න ගත වෙන කාලය ගැන කට්ටියට දැනුමක් තිබ්බා.

ඇලෙක්ස්ට විනාඩි 1 යි.
බෙන්ජමින්ට විනාඩි 2යි.
කෝඩිට විනාඩි 5යි.
මහාචාර්ය ඩේවිඩ්ට විනාඩි 10යි.

ගිනි කන්ද පුපුරන්න කළින් මේ හතරදෙනාම පාලමෙන් එගොඩ වෙන්නේ කොහොමද?

69. LOVE AND ARITHMETIC...

A tutor went one day to teach

A rich man's lovely daughter

The four rules of arithmetic

And this is how he taught her.

The first rule was a simple one

He showed by love's tuition,

He kissed her once, he kissed her twice,

And said, "Now that's Addition."

And so he added kiss to kiss,

In joyful satisfaction,

And then he took a few, from her,

And said, "Now that's Subtraction."

And so they sat there side by side

In mututal admiration,

He said, whilst paying back tenfold,

"This is Multiplication."

But papa thought he heard one day

The sounds of osculation.

He asked his daughter what it meant,

By mild expostulation.

And when he learnt the truth from her

He shouted in derision,

He kicked the tutor from the door

And said, ''That's Long Division!"

by

Cuthbert Rose and Winifrid Fairley

58. ගණිත විනෝදය...05

ඔන්න අද ලේසි කම්මැලි ගැටළු ටිකක්. හොයන්නකො බලන්නකො එහෙනං උත්තර. :)

1. ඔන්න එක ගඟකින් එගොඩ වෙන්න බලාගෙන ළමයි දෙන්නෙක් ඉන්නවා. එගොඩ වෙන්න පුළුවන් එකම විදිහ බෝට්ටුවක් විතරයි. ඒත් එක සැරේට යන්න පුළුවන් එක්කෙනාටයි. තොටියෙකුත් නෑ. බෝට්ටුවට තනියම ආපහු මෙහා ඉවුරට එන්නත් බෑ. ලණු, පාලම් ඒ මුකුත් නෑ. ඒත් කොහොමහරි අන්තිමේදී ළමයි දෙන්නම ගඟෙන් එගොඩ උනා. ඒ කොහොමද?


2. 5 සහ 9 කියන ඉලක්කම් දෙක අතර මොන ගණිත සංකේතය පාවිච්චි කළොත්ද 5ට වැඩි සහ 9ට අඩු සංඛ්‍යාවක් ලබාගන්න පුළුවන් වෙන්නේ?


3. 101 - 102 = 1 මේ සමීකරණය වැරදියි කියලා හැමෝටම තේරෙනවනේ. එහෙනම් මෙතනින් එක ඉලක්කමක් විතරක් එහා මෙහා කරලා මේ සමීකරණය නිවැරදි කරන්නේ කොහොමද? (පොඩි උප්පරවැට්ටියක් පාවිච්චි කරන්නයි තියෙන්නේ)

56. අවුරුදු තෑගි...

අළුත් අවුරුදු පහු වෙලා වෙසක් මාසෙත් ඇවිල්ලා. ඒත් ඉතිං මේ මං අළුත් අවුරුද්දෙ දාන පළවෙනි ලිපියනේ. ඒ නිසා ඉස්සෙල්ලාම හැමෝටම සුභ අළුත් අවුරුද්දක් වේවා! :)

අද ලිපියත් ගණිත විනෝදයට සම්බන්ධයි. ඒත් ඔන්න ගැටළු නෑ, කෙළින්ම තෑගි විතරයි හැමෝටම. ගැටළු හොයාගන්න පුළුවන් ඕනෙනම් ඒ තෑගි ලිහලා බලලා. 

මේ තියෙන්නේ තෑගි ලැයිස්තුව.

මුළින්ම බෙදාගන්නේ මම වැඩියෙන්ම ආස එක. රහස් පද පෙරළි හොයන්න තියෙන්නේ මේකෙ. http://www.cryptograms.org/play.php

ඊලඟට ගණිත විනෝදයටම සම්බන්ධ සබැඳියක්. http://www.mathsisfun.com මේ තියෙන්නේ ඒකෙ මම කැමතිම ක්‍රීඩාව. තව අපූරු ඒවා ගොඩාක් තියෙනවා.

මේක තර්කානුකූලව හිතලා විසඳන්න තියෙන ගැටළුවක්. පුරුදු වෙන්න ටිකක් අමාරුයි. ඒත් වැඩේ අල්ලගත්තට පස්සේ හරි විනෝදයි. http://www.logic-puzzles.org/

කාලෙකට කළින් ටැන්ග්‍රැම් ගැන ලියද්දී ඒක අන්තර්ජාලය හරහා සෙල්ලම් කරන්න පුළුවන් සබැඳියක් දුන්නා මතකයි. මෙන්න ඒකම ආයෙත්. http://www.primarygames.com/math/tangram/

මෙතනත් තියෙනවා මොළය දියුණු කරගන්න උදව් වෙන අපූරු ක්‍රීඩා එකතුවක්. http://www.gamesforthebrain.com/

අන්තිමට මෙන්න මේක. මේකේ තියෙන ගැටළුනම් ගොඩාක් ගණිතයට සම්බන්ධයි. මමත් තාම උත්සාහ කරලා නෑ ඒ එකක්වත්. ඒත් මේක ප්‍රයෝජනවත් වෙන්න පුළුවන් අය ඉඳියි කියලා හිතුණ නිසා බෙදා ගන්න හිතුවා. http://projecteuler.net/problems

54. ගණිත විනෝදය...04

ඔන්න එකෝමත් එක රටක හිටියලු තාත්තා කෙනෙකුයි පුත්තු හතර දෙනෙකුයි. මේ තාත්තා මිය යන්න කළින් තමන්ගේ වස්තුව තැන්පත් කරලා තියෙන තැන ගැන පුතාලා හතර දෙනාට දන්නලා කිව්වලු ඒ තියන රන් කාසි පොදිය හතර දෙනාට සමානව බෙදාගන්න කියලා.

ඉතින් ඔන්න මුලින්ම ලොකු පුතා ගියාලු. එයා රන් කාසි ගොඩෙන් හරියට හතරෙන් එකක් අරන් ආවලු.

ඊලඟ දවසෙ දෙවෙනි පුතා ගියාලු. එයා දන්නෙ නෑ අයියා ඇවිත් එයාගෙ ගොඩ අරන් ගිහින් කියලා. එයා ඒ ඉතිරි වෙලා තිබ්බ ගොඩෙන් හතරෙන් එකකුයි, තව වැඩිපුර තමන්ට අයිති නැති රන් කාසියකුයි අරන් ආවලු.

ඊලඟට තුන් වෙනි පුතා ගියාලු. එයා දන්නෙ නෑ අයියලා දෙන්නා ගිය බවක්. එයත් ඉතිරි වෙලා තිබ්බ ගොඩෙන් හතරෙන් එකක් අරගෙන තව වැඩි පුර රන් කාසි දෙකක්ම අරන් ආවලු.

අන්තිමට ගියෙ බාලයා. එයත් දන්නෙ නෑ අයියලා ගිය බවක්. ඒත් එයා අයියලා ගැන කල්පනා කළෙත් නෑ. එයා ඉතිරිවෙලා තිබ්බ මුළු රන්කාසි ගොඩම තනියම අයිති කරගත්තලු.

කතාවෙ ලස්සනම තැන එන්නෙ දැන්. අන්තිමට කොහොමහරි බලද්දි මේ අයියලා මල්ලිලා හතර දෙනා වෙන වෙනම අරන් ඇවිල්ලා අයිති කරගෙන තියෙන්නේ සමාන රන්කාසි ගණනක්! ඒ කියන්නේ නොදැනුවත්වම හරි තාත්තගෙ වස්තුව පුතාලා හතර දෙනාටම සමානව බෙදිලා.

දැන් කාටද කියන්න පුළුවන් මුළු රන්කාසි ගොඩේ රන් කාසි කීයක් තිබ්බද කියලා. කවුද බලමු අද තෑග්ග දිනන්නේ... :)

49. ගණිත විනෝදය...03

ඔන්න අද ලේසිම ලේසි ප්‍රශ්නයක්. 

දවසක්දා යාළුවො තුන්දෙනෙක් කැලයක් මැද්දෙන් යන කොට හොරු කණ්ඩායමකට අහු උනා. හොරු උනාට මොකද, හොඳට කල්පනා කරන්න පුළුවන් බුද්ධිමත් මිනිස්සුන්ට මේ හොරු මුකුත් කරදරයක් කරන්නෙ නෑ. ඉතිං මොකද කළේ, හොරු මේ තුන්දෙනාට තොප්පි පහක් පෙන්නුවා. එයින් තුනක් සුදු පාටයි, අනිත් දෙක කළු පාටයි. ඊලඟට තුන් දෙනාව එක්කෙනා පිටිපස්සෙ එක්කෙනා හිටවලා, ඇස් බැඳලා එක්කෙනාට එක තොප්පිය ගානේ දාලා අනිත් තොප්පි දෙක හැංගුවා. ඊට පස්සෙ ආපහු ඇස් ලිහලා කිව්වා තුන් දෙනාගෙන් එක්කෙනෙකුට හරි තමන් දාගෙන ඉන්න තොප්පියෙ පාට හරියට කියන්න පුළුවන් උනොත් තුන් දෙනාවම නිදහස් කරනවා කියලා. 

දැන් මේ තුන් දෙනා ඉන්නෙ එක්කෙනා පිටිපස්සෙ එක්කෙනා හිටගෙන. අන්තිමයට තමන්ගෙ තොප්පිය පේන්නෙ නෑ, ඉස්සරහ දෙන්නගෙ තොප්පි පේනවා. දෙවෙනියට තමන්ගෙ එකයි පිටිපස්සෙ එක්කෙනාගෙ තොප්පියයි පේන්නේ නෑ, ඉස්සරහාම එක්කෙනාගෙ තොප්පිය පේනවා. ඉස්සරහාම ඉන්න කෙනාට කාගෙවත් තොප්පි පේන්නෙ නෑ.

ඉතිං අන්තිමයා මුළින්ම කිව්වා 'මං දන්නෙ නෑ' කියලා.

දෙවෙනියත් කිව්වා 'මං දන්නෙ නෑ' කියලා.

ඉස්සරහින්ම හිටපු එක්කෙනා හරි උත්තරේ කිව්වා. තුන් දෙනාම නිදහස් උනා.

අද ප්‍රශ්නේ, ඉස්සරහම හිටපු එක්කෙනාගෙ තොප්පියෙ පාට මොකද්ද, එයා ඒ බව හරියටම දැනගත්තේ කොහොමද?

අදත් තෑග්ගක් තියෙනවා. :D

44. ගණිත විනෝදය...02

ඕන්න එකෝමත් එක රටක මුදලාලි කෙනෙක් හිටියලු. මේ මුදලාලි ලඟ තිබුණලු පඩි හතරක්, කිලෝ 1 ඉඳන් කිලෝ 40 වෙනකල් ඕනම කිලෝ ගණනක් කිරන්න පුළුවන්. කිලෝ භාග ගණන් බෑ. ඉතින් මගේ ප්‍රශ්න දෙකක් තියෙනවා. 

1. මේ පඩි හතරේ එක එකක බර කීයද? 

2. ඒ මුදලාලි කිලෝ 1 ඉඳන් කිලෝ 40 වෙනකල් බර මැනගන්නේ කොහොමද? (උත්තරේට කිලෝ එකේ ඉඳන් කිලෝ හතළිහ වෙනකල් වෙන වෙනම බර මනින විදිහ ලියලා පෙන්නන්න ඕනේ.)

ප්‍රශ්න දෙකටම හරි උත්තර මුළින්ම දෙන කෙනාට තෑග්ගක් තියෙනවා. :)

38. ටෑන්ග්‍රෑම්...

ටෑන්ග්‍රෑම් කියන්නේ පුරාණ චීනයේ බිහි වෙච්ච ගණිතමය ඒ වගේම නිර්මාණාත්මක ක්‍රීඩාවක්. මේක ජ්‍යාමිතික හැඩතල භාවිතයෙන් තමයි කරන්නේ. දී ඇති ජ්‍යාමිතික හැඩතල භාවිතයෙන් විවිධ රූප සටහන් නිර්මාණය කරගැනීම තමයි ක්‍රීඩාවේ අරමුණ වෙන්නේ.

මෙන්න මේ සබැඳි වලින් වැඩි විස්තර දැනගන්න පුළුවන් වෙයි.

http://tangrams.ca/

http://en.wikipedia.org/wiki/Tangram

http://www.logicville.com/tangram.htm

සම්මත ක්‍රීඩා කට්ටලයේ හැඩතල කැබලි හතක් තියෙනවා. ඒ කට්ටලයක් අපිට පහසුවෙන්ම හදාගන්නත් පුළුවන්, මෙන්න මේ වගේ. 

http://tangrams.ca/make-a-set

මම මුළින්ම ක්‍රීඩා කළේ කොටස් හතරේ කට්ටලයකින්. මේ තියෙන්නේ ඒ වගේ එකක්.

අම්මා ගෙනත් දීපු ඒ පුංචි කහ පාට පෙට්ටියේ කහ පාට ප්ලාස්ටික් කෑලි හතරෙන් හදන්න පුළුවන් එක එක රූප 40ක් විතර තිබ්බා. අපි ඒ හැම එකක්ම හැදුවා. සමහර ඒවා හරිම අමාරුයි. එක සැරයක් හදාගත්තත්, ආයෙ දෙවෙනි සැරේ හදන්න ගියොත් ආයෙ මතක නෑ.

මේ ක්‍රීඩාව දැන් අන්තර්ජාලය හරහාත් සෙල්ලම් කරන්න පුළුවන්.

http://www.primarygames.com/math/tangram/

පුංචි ළමයින්ට ගොඩක් ආස හිතෙන, ඒගොල්ලන්ගෙ නිර්මාණාත්මක හැකියාවත්, සිතීමේ ශක්තියත් වැඩි කරවන බොහොම වටින ක්‍රීඩාවක් විදිහටයි මම මේක දකින්නේ.

33. ගණිත විනෝදය...01

ඔන්න එක ගමක හිටියලු නිවුන් සහෝදරයො දෙන්නෙක්. එක වගේමයි, කාටවත් අඳුරගන්න බෑ දෙන්නව වෙන් කරලා. මේ දෙන්නගෙන් එක්කෙනෙක් කට ඇරියොත් බොරුමයි කියන්නේ. කිසිම මොහොතක ඇත්ත කියන්නෙ නෑ. අනිත් සහෝදරයා ඇත්ත විතරමයි කියන්නේ, කිසිම බොරුවක් කියන්නේ නෑ.

දවසක් මේ ගම හරහා එහා ගමට යන්න ආපු අමුත්තෙක් පාර දෙකට බෙදෙන තැනකදි කොයි පාරෙද යන්න ඕනෙ කියලා කල්පනා කර කර ඉන්න කොට ඔන්න අර නිවුන්නු දෙන්නා මෙතනට ආවා. මේ දෙන්නා ගැන අහළ ගම් වලත් ප්‍රසිද්ධයි, ඒ හින්දා මේ අමුත්තා දැනං හිටියා මේ දෙන්නගෙන් එක්කෙනෙක් බොරු කාරයෙක් අනිත් එක්කෙනා ඇත්තම විතරක් කියන එක්කෙනෙක් කියලා. ඒත් ඒ කවුද කියලා අඳුනගන්න බෑනේ පෙනුමෙන්. 

ඉතිං මේ අමුත්තා කල්පනා කළා. ඊට පස්සෙ එක සහෝදරයෙක්ගෙන් එකම එක ප්‍රශ්නයක් ඇහැව්වා. හැබැයි ඒ ඇහැව්වේ බොරු කාරයගෙන්ද ඇත්ත කියන කෙනාගෙන්ද කියලා එයාවත් දන්නෙ නෑ. ලැබුණ උත්තරෙන් අමුත්තා හරි පාර හොයාගෙන කිසිම කරදරයක් නැතුව එහා ගමට ගියා.

දැන් ඉතින් ප්‍රශ්න අහන වාරෙ. මෙච්චර වෙලා කතන්දරේ අහගෙන හිටිය ළමයි ටික දැං කියන්නකො බලන්න අර අමුත්තා අහපු ඒ එකම එක ප්‍රශ්නෙ මොකද්ද? එයා ඒක ඇහැව්වෙ බොරුකාරයගෙන්නම් එයාට ලැබුණ උත්තරේ මොකද්ද? ඒක ඇහැව්වෙ ඇත්ත කියන කෙනාගෙන්නම් ලැබුන උත්තරේ මොකද්ද? ඒ මොන උත්තරේ ලැබුණත් එයා හරි පාර හොයාගෙන ගියේ කොහොමද?

ඔය හතරටම හරි උත්තර මුළින්ම දෙන කෙනාට තෑග්ගක් තියෙනවා!!!